3차원 수학 문제를 처음 접하면 누구나 부담을 느낍니다. 공간이 하나 더 늘어나면서 머릿속에 상황을 그리기가 어렵기 때문이죠. 하지만 게임을 만드는 프로그래머들은 아주 현실적인 방법을 사용합니다. 바로 문제를 2차원으로 바꿔서 생각하는 전략입니다. 이것은 편법이 아니라 문제를 정확히 이해하는 과정입니다.
수학 연산의 공통점 찾기
왜 굳이 차원을 줄여서 생각할까요? 많은 수학 계산이 2D와 3D에서 똑같은 규칙을 따르기 때문입니다. 벡터의 덧셈이나 뺄셈 같은 연산은 좌표 개수만 다를 뿐입니다. 계산하려는 의도나 방식은 변하지 않습니다.
그래서 평면에서 통하는 논리는 공간에서도 대부분 들어맞습니다. 2차원에서 먼저 식을 세우고 나중에 축 하나만 추가하면 됩니다. 처음부터 어려운 3차원 식을 붙들고 있을 필요가 없습니다. 원리를 파악하는 것이 우선입니다.
눈으로 확인하는 습관
2차원으로 생각하면 종이나 화면에 직접 그려볼 수 있어 좋습니다. 벡터의 방향이나 관계를 눈으로 보면 훨씬 직관적입니다. 머릿속으로만 생각하면 놓치기 쉬운 부분도 그림으로는 명확해집니다.
3차원에서 헷갈리던 문제도 평면에 옮겨 그리면 답이 보이는 경우가 많습니다. 실수를 줄이고 싶다면 시각적으로 확인하는 과정을 거치세요. 복잡한 수식보다 그림 하나가 더 큰 도움을 줍니다.
차원을 줄여서 해석하기
실제 개발 과정에서도 이 방법은 아주 빈번하게 쓰입니다. 캐릭터가 목표물을 제대로 보고 있는지 확인할 때를 예로 들어보죠. 높이 축 하나를 무시하고 위에서 본 모습만 생각해도 충분합니다.
2차원 평면 문제로 바꿔도 판단하려는 내용은 훼손되지 않습니다. 불필요한 정보를 쳐내고 정말 필요한 정보만 남기는 것입니다. 수학적으로도 타당하며 계산 비용도 줄여줍니다.
3차원이 필수인 예외 상황
물론 모든 문제를 평면으로 가져올 수는 없습니다. 대표적인 예로 외적(Cross Product)이 있습니다. 외적은 두 벡터에 모두 수직인 새로운 벡터를 만드는 연산입니다. 공간의 방향성이 중요하기 때문에 2차원으로는 설명이 안 됩니다.
이런 성질을 가진 연산은 3차원 공간 안에서만 정의됩니다. 차원을 억지로 줄이려다 보면 오히려 오류가 발생할 수 있습니다. 공간적인 특성이 중요한지 먼저 따져봐야 합니다.
회전축과 공간적 특성
회전축이 공간 어딘가에 비스듬히 놓인 경우도 마찬가지입니다. 회전하는 방향과 축의 관계가 얽혀 있다면 3차원 그대로 봐야 합니다. 문제 자체가 입체적인 사고를 요구하는 상황이기 때문입니다.
무조건 2차원으로 만드는 것이 정답은 아닙니다. 어떤 부분은 평면으로 단순화하고 어떤 부분은 공간으로 남길지 결정해야 합니다. 상황에 맞게 적절한 도구를 선택하는 것이 중요합니다.
복잡함을 걷어내는 힘
그럼에도 사고의 출발점을 2D로 잡는 것은 강력한 무기가 됩니다. 쉬운 단계에서 논리를 세우고 나서 차원을 확장해 보세요. 이해하는 속도가 빨라지고 문제 해결 능력도 좋아집니다.
복잡한 껍데기를 벗겨내고 문제의 알맹이를 보는 연습을 하세요. 이런 사고방식은 수학뿐만 아니라 시스템 설계 전반에 큰 도움이 됩니다. 어려운 문제일수록 차분하게 쪼개서 보는 태도가 필요합니다.
